Задание 2. Скрытые марковские модели.

Авторы: Дмитрий Кропотов,
Дмитрий Ветров

Начало: 31 октября 2009
Конец: 15 ноября 2009 (23:59)

Задание состоит из трех вариантов. Распределение вариантов задания по студентам см. здесь. Тем, кто хочет выполнить это задание, но по каким-либо причинам не выполнял первое задание, нужно написать письмо и получить номер варианта.

Среда реализации для всех вариантов – MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Вариант 1

Формулировка задания

Рассматривается классическая скрытая марковская модель первого порядка, в которой полное правдоподобие задается как:

$p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n )$

Пусть скрытая компонента $t_n$ в произвольный момент времени может принимать значения из множества $\{1,\dots,K\}$ . Априорное распределение на значение скрытой компоненты в первый момент времени задается вектором $w_1,\ldots,w_K$ , причем все $w_i\ge 0$ и $\sum_iw_i=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $A$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных задается нормальными распределениями со своими значениями вектора математического ожидания $\mu_i$ и матрицы ковариации $\Sigma_i$ для каждого состояния.
Таким образом, набор параметров модели определяется вектором $\vec{w}$ , матрицей $A$ , значениями векторов математических ожиданий и матриц ковариаций для каждого состояния $\{\mu_i,\Sigma_i\}_{i=1}^K$ .

Для выполнения задания необходимо реализовать:

Алгоритм генерации выборки из вероятностной модели СММ
EM-алгоритм обучения СММ при заданном числе состояний K
Алгоритм Витерби для сегментации сигнала при известных значениях параметров СММ, учитывающий заданное распределение на длительность нахождения в одном состоянии

Пояснения к варианту

При использовании стандартного алгоритма Витерби, описанного в лекциях, легко показать, что априорное распределение на длительность $l_j$ нахождения в состоянии $j$ является геометрическим, т.е. вероятность находиться в этом состоянии ровно $s$ моментов времени равна

$p(l_j=s)=A_{jj}^s(1-A_{jj})$

Необходимо обобщить алгоритм Витерби на случай, когда априорное распределение на длительность нахождения в состоянии $j$ имеет вид
$p(l_j=s)=\left{\begin{array}{cc}0, &\ s\not\in\[a,b\]\\ A_{jj}^{s-a}\frac{1-A_{jj}}{1-A_{jj}^{b-a+1}}, &\ s\in\[a,b\]\end{array}\right$

Иными словами, в одном состоянии СММ не может находиться меньше $a$ моментов времени и больше $b$ моментов времени. Частным случаем может быть $a=0$ , $b=+\infty$ . В этом случае алгоритм сегментации должен давать результаты, аналогичные алгоритму Витерби.

Подсказки

Вероятность перехода из состояния $j$ в состояние $j$ начинает зависеть от длительности $s$ нахождения в состоянии $j$ и с точностью до нормировочного множителя равна

$\hat p(t_{nj}|t_{n-1,j})=\frac{p(l_j>s)}{p(l_j>s-1)}.$

Обратите внимание, что если в качестве распределения на $l_j$ использовалось бы геометрическое распределение, вероятность перехода не зависела бы от длительности нахождения в состоянии $j$ и равнялась бы $A_{jj}$ .

Тогда вероятности перехода между состояниями в силу условия нормировки равны

$\hat p(t_{ni}|t_{n-1,j})=A_{ji}\frac{p(l_j=s)}{p(l_j>s)},$

где $s$ — длительность нахождения в состоянии $j$ к моменту времени $n-1$ . Второй множитель здесь возникает из-за того, что мы точно знаем, какой длины был сегмент с $j$ -ым состоянием (раз мы из него перешли в другое состояние, значит сегмент закончился).

Окончательно вероятности переходов рассчитываем

$p(t_{ni}|t_{n-1,j})=\frac{\hat p(t_{ni}|t_{n-1,j})}{\sum_{k=1}^K \hat p(t_{nk}|t_{n-1,j})},\ \ \forall i=1,\dots,j,\ldots,K,$

чтобы соблюсти условие нормировки
$\sum_{i=1}^K p(t_{ni}|t_{n-1,j})=1.$

Эти условные вероятности теперь будут подставляться в функцию Беллмана и в функцию $S(t_{n,j})$ . Чтобы их корректно рассчитать, нам придется теперь дополнительно хранить информацию о том, сколько времени мы уже находимся в текущем состоянии (т.е. величину $l_j$ для каждого $t_{n,j}$ ).

Спецификация реализуемых функций

Генерация выборки

[X, T] = HMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigmas)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — центры гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор мат.ожидания для соответствующего состояния;

Sigmas — матрицы ковариации гауссиан, массив типа double размера d x d x K, Sigmas(:,:,i) – матрица ковариации для i-ого состояния;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d

T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обратите внимание: в процедуре HMM_GENERATE количество признаков и количество скрытых состояний определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Сегментация

T = HMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigmas, a, b)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;

w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

a — минимально возможная длина сегмента, uint16, если параметр не задан (=[] или число входных параметров = 5), то по умолчанию = 0

b — максимально возможная длина сегмента, uint16, если параметр не задан (=[] или число входных параметров <= 6), то по умолчанию = +inf

ВЫХОД

T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обучение

[w, A, Mu, Sigmas, core] = HMM_EM_TRAIN(X, K)

[w, A, Mu, Sigmas, core] = HMM_EM_TRAIN(X, K, InputParameters)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;

K — количество скрытых состояний, число типа uint16;

InputParameters — (необязательный аргумент) набор дополнительных параметров, массив типа cell вида ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2 и т.д. Возможны следующие параметры:

'w' — задаваемый пользователем вектор априорных вероятностей (соответственно, его не нужно определять в процессе EM-итераций);

'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;

'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;

'Sigmas' — задаваемые пользователем матрицы ковариации гауссиан;

'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;

'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;

ВЫХОД

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Core — все параметры для всех итераций EM-алгоритма, массив структур длины num_iter с полями 'w', 'A', 'Mu', 'Sigmas', 'gamma', 'LH', где gamma – матрица значений gamma для всех точек и всех состояний, LH – логарифм правдоподобия

Оформление задания

Архив, содержащий:

Readme.txt — файл с ФИО сдающего + комментарии по заданию
HMM_GENERATE.m
HMM_TEST.m
HMM_EM_TRAIN.m
Набор вспомогательных файлов при необходимости

Вариант 2

Формулировка задания

$p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n )$

Пусть скрытая компонента $t_n$ в произвольный момент времени может принимать значения из множества $\{1,\ldots,K\}$ . Априорное распределение на значение скрытой компоненты в первый момент времени задается вектором $w_1,\ldots,w_K$ , причем все $w_i\ge 0$ и $\sum_iw_i=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $A$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных задается нормальными распределениями со своими значениями вектора математического ожидания $\mu_i$ и матрицы ковариации $\Sigma_i$ для каждого состояния.
Таким образом, набор параметров модели определяется вектором $\vec{w}$ , матрицей $A$ , значениями векторов математических ожиданий и матриц ковариаций для каждого состояния $\{\mu_i,\Sigma_i\}_{i=1}^K$ .

Для выполнения задания необходимо реализовать:

Алгоритм генерации выборки из вероятностной модели СММ
EM-алгоритм обучения СММ при заданном числе состояний K
Алгоритм Витерби для сегментации сигнала при известных значениях параметров СММ, работающий в реальном времени

Пояснения к варианту

При решении задачи сегментации с помощью алгоритма Витерби предполагается, что наблюдаемые данные поступают последовательно. Необходимо модифицировать алгоритм Витерби так, чтобы он был способен проводить сегментацию сигнала по имеющимся данным. Здесь используется следующее предположение: поступающие в текущий момент данные не влияют на сегментацию отдаленных участков сигнала в прошлом. Иными словами, каковы бы не были наблюдения, например, начиная с момента времени $100$ и дальше, сегментация первых, скажем, $40$ точек сигнала останется без изменений. Это позволяет нам провести окончательную сегментацию первых сорока точек сигнала, не дожидаясь получения всего объема данных, уже в сотый момент времени. По мере поступления новых данных граница окончательной сегментации (граница принятия решения) будет смещаться вправо.

Задача: для каждого момента времени определить, на какой участок в прошлом новые наблюдения уже не оказывают влияния, и провести его сегментацию алгоритмом Витерби. При хорошо различимых состояниях задержка сегментации (разница между границей принятия решения и текущим моментом времени) будет незначительной.

Подсказки

Вариантом реализации такого алгоритма является прореживание таблицы функции $S(t_{n,j})$ , содержащей аргмаксы функции Беллмана. Кладем $S(t_{n,j})=0$ , если $\not\exist i: S(t_{n+1},i)=j$ , т.е. если ни одна из оптимальных траекторий не проходит через $t_{n,j}$ . В этом случае значения функции Беллмана и функции $S$ для $t_{n,j}$ интереса не представляют. В какой-то момент $l$ окажется, что все $S(t_{l,j})=0,\ \ j\ne j_0$ . Это и будет означать, что все оптимальные траектории проходят через состояние $j_0$ в момент времени $l$ . Но тогда мы можем провести сегментацию всего сигнала до момента $l$ включительно и очистить память, удалив массивы со значениями функции Беллмана и функции $S$ от начала до момента времени $l$ - сегментация на этом участке уже не изменится.

Спецификация реализуемых функций

Генерация выборки

[X, T] = HMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigmas)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d

T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Сегментация

[T, Borders] = HMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigmas)

ВХОД

w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

ВЫХОД

T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Borders — границы принятия решений при он-лайн сегментации, матрица типа double размера 2 x num_borders, каждая граница задается парой чисел - номер во входной последовательности и соответствующая ему правая граница сегментации в последовательности скрытых состояний T

Обучение

[w, A, Mu, Sigmas, core] = HMM_EM_TRAIN(X, K)

[w, A, Mu, Sigmas, core] = HMM_EM_TRAIN(X, K, InputParameters)

ВХОД

K — количество скрытых состояний, число типа uint16;

'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;

'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;

'Sigmas' — задаваемые пользователем матрицы ковариации гауссиан;

'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;

'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;

ВЫХОД

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Оформление задания

Архив, содержащий:

Readme.txt — файл с ФИО сдающего + комментарии по заданию
HMM_GENERATE.m
HMM_TEST.m
HMM_EM_TRAIN.m
Набор вспомогательных файлов при необходимости

Вариант 3

Формулировка задания

Рассматривается авторегрессионная скрытая марковская модель, в которой полное правдоподобие задается как:

$p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n,x_{n-1},\dots,x_{n-M} )$

Пусть скрытая компонента $t_n$ в произвольный момент времени может принимать значения из множества $\{1,\dots,K\}$ . Априорное распределение на значение скрытой компоненты в первый момент времени задается вектором $w_1,\ldots,w_K$ , причем все $w_i\ge 0$ и $\sum_iw_i=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $A$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных задается нормальными распределениями с одинаковой матрицей ковариации $\Sigma$ и своими математическими ожиданиями $\mu_{n,j}$ для каждого состояния и каждого момента времени. Математическое ожидание зависит не только от состояния СММ, но и от предудыщих значений $x$ (авторегрессионная составляющая) и задается формулой

$\mu_{n,j}=d_j+\sum_{m=1}^Ma_mx_{n-m},$

где $d_j$ — вектор смещения, определяемый только номером состояния СММ, а коэффициенты авторегрессии $a_m$ не зависят от состояния СММ.

Таким образом, набор параметров модели определяется вектором $\vec{w}$ , матрицей $A$ , значениями векторов смещений для каждого состояния $\{d_i\}_{i=1}^K$ , матрицей ковариций $\Sigma$ и коэффициентами авторегрессии $a_m$ . Глубина авторегрессии $M$ задается пользователем.

Для выполнения задания необходимо реализовать:

Алгоритм генерации выборки из вероятностной модели СММ с авторегрессией
EM-алгоритм обучения СММ при заданном числе состояний $K$ и глубине авторегрессии $M$ .
Алгоритм Витерби для сегментации сигнала при известных значениях параметров СММ, учитывающий значения наблюдаемой компоненты $x$ в предыдущие моменты времени

Пояснения к заданию

Для подсчета авторегрессии в первые моменты времени вам понадобятся знания о значениях наблюдаемой компоненты $x_n$ в отрицательные моменты времени $-1,\ldots,-M+1$ . Считайте, что в них значение $x$ равно среднему значению наблюдаемой компоненты, подсчитанному по всему сигналу. Обратите внимание на необходимость оценивания коэффициентов авторегрессии и сдвижки на М-шаге. Для получения аналитических формул вам придется выписать функцию правдоподобия, приравнять ее логарифм к нулю и выразить искомые величины.

Подсказки

Тут, собственно, подсказывать особенно и нечего. Отличие от того, что разобрано в лекциях, заключается в изменении функции $p(x_n|\phi_j)$ и применении всех разобранных на лекциях алгоритмов. Подумайте, в каких местах нужна модификация формул из лекций, а в каких нет.

Спецификация реализуемых функций

Генерация выборки

[X, T] = ARHMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigma, C)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — константы в центрах гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор для соответствующего состояния;

Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d

T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обратите внимание: в процедуре ARHMM_GENERATE количество признаков, скрытых состояний и глубина авторегрессии определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Сегментация

T = ARHMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigma, C)

ВХОД

w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M, где M — глубина авторегрессии;

ВЫХОД

T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обучение

[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M)

[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M, InputParameters)

ВХОД

K — количество скрытых состояний, число типа uint16;

M — глубина авторегрессии, число типа uint16;

'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;

'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;

'Sigma' — задаваемая пользователем матрица ковариации гауссиан;

'C' — задаваемые пользователем коэффициенты авторегрессии;

'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;

'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;

ВЫХОД

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Sigma — матрица ковариации гауссиан, массив типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;

Core — все параметры для всех итераций EM-алгоритма, массив структур длины num_iter с полями 'w', 'A', 'Mu', 'Sigma', 'C', 'gamma', 'LH', где gamma – матрица значений gamma для всех точек и всех состояний, LH – логарифм правдоподобия

Оформление задания

Архив, содержащий:

Readme.txt — файл с ФИО сдающего + комментарии по заданию
ARHMM_GENERATE.m
ARHMM_TEST.m
ARHMM_EM_TRAIN.m
Набор вспомогательных файлов при необходимости

Разделы

Правила курсов

Вход в систему

Навигация

Задание 2. Скрытые марковские модели.

Вариант 1

Формулировка задания

Пояснения к варианту

Подсказки

Спецификация реализуемых функций

Оформление задания

Вариант 2

Формулировка задания

Пояснения к варианту

Подсказки

Спецификация реализуемых функций

Оформление задания

Вариант 3

Формулировка задания

Пояснения к заданию

Подсказки

Спецификация реализуемых функций

Оформление задания